\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第九章\quad 多元函数微分法及其应用 }
\renewcommand{\mysubtitle}{第二节\quad 偏 导 数}
\graphicspath{ {./images/} }
\begin{document}


\section{偏导数的定义及其计算法}

\begin{frame}{偏导数的定义}
  \pause
在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引人了导数的概念。
\pause
 对于多元函数同样需要讨论它的变化率。
\pause
 但多元函数的自变量不止一个， 因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。
\pause
 在这一节里， 我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。
\pause
 以二元函数 $z=f(x, y)$ 为例， 如果只有自变量 $x$ 变化，而自变量 $y$ 固定(即看做常量), 这时它就是 $x$ 的一元函数， 这函数对 $x$ 的导数， 就称为二元函数 $z=f(x, y)$ 对 $x$ 的偏导数， 即有如下定义：
\pause
\begin{definition*}
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内有定义， 
\pause
当 $y$ 固定在 $y_{0}$ 而 $x$ 在 $x_{0}$ 处有增量 $\Delta x$ 时， 相应的函数有增量
\[
f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)
\]
\pause
如果
\[\tag{2-1}
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}
\]
存在， 
\pause
那么称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处\emph{对 $x$ 的偏导数}， 
\pause
记作\footnote{偏导数记号 $z_{x}, f_{x}$ 也记成 $z_{x}^{\prime}, f_{x}^{\prime}$, 下面高阶偏导数的记号也有类似的情形。}
\[
  \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad z_{x}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}}\quad  \text {~或~} \quad f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) .
\]
\end{definition*}
  \end{frame}

  \begin{frame}

        例如， 极限 (2-1) 可以表示为
        \[\tag{2-2}
        f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x} .
    \]

~

\pause
  类似地， 函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处\emph{对 $y$ 的偏导数}定义为
  \[\tag{2-3}
  \lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}
\]
\pause
记作
\[
  \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}},\left.\quad z_{y}\right|_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}} \quad\text {或}\quad f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) .
    \]
\end{frame}

\begin{frame}{偏导函数}
  \pause
  如果函数 $z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 内每一点 $(x, y)$ 处对 $x$ 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 $x, y$ 的函数， 
\pause
  它就称为函数 $z=f(x, y)$ \emph{对自变量 $x$ 的偏导函数}， 
\pause
  记作
  \[
  \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, z_{x} \text {~或~} f_{x}(x, y) .
\]

~

\pause
类似地， 可以定义函数 $z=f(x, y)$ \emph{对自变量 $y$ 的偏导函数}， 
\pause
记作
\[
\frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y}, z_{y} \text {~或~} f_{y}(x, y) .
\]

~

\pause
由偏导函数的概念可知， $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 显然就是偏导函数 $f_{x}(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的函数值; 
\pause
  $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 就是偏导函数 $f_{y}(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的函数值。
\pause
 就像一元函数的导函数一样， 以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为\emph{偏导数}。

\end{frame}

\begin{frame}{偏导数的计算}
\pause
至于实际求 $z=f(x, y)$ 的偏导数，并不需要用新的方法， 因为这里只有一个自变量在变动， 另一个自变量是看做固定的， 所以仍旧是一元函数的微分法问题。
\pause
 求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时， 只要把 $y$ 暂时看做常量而对 $x$ 求导数; 求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时， 只要把 $x$ 暂时看做常量而对 $y$ 求导数。


 \pause
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。
\pause
 例如三元函数 $u=f(x, y, z)$ 在点 $(x, y, z)$处对 $x$ 的偏导数定义为
\[
f_{x}(x, y, z)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y, z)-f(x, y, z)}{\Delta x} ,
\]
其中 $(x, y, z)$ 是函数 $u=f(x, y, z)$ 的定义域的内点。
\pause
 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求 $z=x^{2}+3 x y+y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处的偏导数。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \pause
把 $y$ 看做常量，得
\[
\frac{\partial z}{\partial x}=2 x+3 y;
\]
\pause
把 $x$ 看做常量，得
\[
  \frac{\partial z}{\partial y}=3 x+2 y.
\]
\pause
将 $(1,2)$ 代人上面的结果， 就得
\[
  \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=2}}=2 \times 1+3 \times 2=8,
\quad
\pause
    \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=1 \\ y=2}}=3 \times 1+2 \times 2=7.
      \]
  \end{solution}

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{example}
求 $z=x^{2} \sin 2 y$ 的偏导数。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \pause
  \[
    \frac{\partial z}{\partial x}=2 x \sin 2 y, \quad
\pause
\frac{\partial z}{\partial y}=2 x^{2} \cos 2 y.
\]
\end{solution}

\pause
  \begin{example}
  设 $z=x^{y} \quad(x>0, x \neq 1)$, 求证： $\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\ln x} \frac{\partial z}{\partial y}=2 z$.
\end{example}
\pause
\begin{proof}
  \pause
  因为 $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{y-1}, \frac{\partial z}{\partial y}=x^{y} \ln x$,
\pause
  所以
\[
\frac{x}{y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\ln x} \frac{\partial z}{\partial y}
\pause
=\frac{x}{y} y x^{y-1}+\frac{1}{\ln x} x^{y} \ln x
\pause
=x^{y}+x^{y}=2 z .
\]
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{example}
求 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 的偏导数。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
把 $y$ 和 $z$ 都看做常量， 得
\[
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{x}{r} .
\]
\pause
由于所给函数关于自变量的对称性
\pause
（这就是说， 当函数表达式中任意两个自变量对调后， 仍表示原来的函数），
\pause
所以
\[
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}, \quad 
\pause
\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}.
\]
\end{solution}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  已知理想气体的状态方程 $p V=R T$ ( $R$ 为常量), 求证：
  \[
    \frac{\partial p}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial p}=-1.
\]
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \pause
因为
\[
  \begin{array}{ll}
    p=\frac{R T}{V}, & \frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{R T}{V^{2}};\\
    \pause
    V=\frac{R T}{p}, & \frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{p} ; \\
    \pause
  T=\frac{p V}{R}, & \frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{R},
\end{array}
\]
\pause
所以
\[
  \frac{\partial p}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T} \cdot \frac{\partial T}{\partial p}
\pause
  =-\frac{R T}{V^{2}} \cdot \frac{R}{p} \cdot \frac{V}{R}
\pause
  =-\frac{R T}{p V}
\pause
  =-1.
\]
\end{solution}
\pause
\begin{remark}
  \pause
我们知道， 对一元函数来说， $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 可看做函数的微分 $\mathrm{d} y$ 与自变量的微分 $\mathrm{d} x$ 之商。
\pause
 而上式表明， 偏导数的记号是一个整体记号， 不能看做分子与分母之商。
\end{remark}
\end{frame}

\begin{frame}{偏导数的几何意义}
\pause
二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的偏导数有下述几何意义。


\pause
  \begin{figure}
      \centering
      \includegraphics[max width=.4\textwidth]{2024_01_20_3f478344d98272341b49g-15}
    \caption*{图 9-5}
\end{figure}


\pause
设 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ 为曲面 $z=$ $f(x, y)$ 上的一点， 过 $M_{0}$ 作平面 $y=y_{0}$, 截此曲面得一曲线， 此曲线在平面 $y=y_{0}$ 上的方程为 $z=f\left(x, y_{0}\right)$, 
\pause
则导数 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f\left(x, y_{0}\right)\right|_{x=x_{0}}$, 
即偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 
\pause
就是这曲线在点 $M_{0}$ 处的切线 $M_{0} T_{x}$ 对 $x$ 轴的斜率 (图 9-5). 
\pause
  同样， 偏导数 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的几何意义是曲面被平面 $x=x_{0}$ 所截得的曲线在点 $M_{0}$ 处的切线 $M_{0} T_{y}$ 对 $y$ 轴的斜率。
\end{frame}

\begin{frame}{偏导数存在不蕴含连续性}
  \pause
我们已经知道， 如果一元函数在某点具有导数， 那么它在该点必定连续。
\pause
 但对于多元函数来说， 即使各偏导数在某点都存在， 也不能保证函数在该点连续。
\pause
 这是因为各偏导数存在只能保证点 $P$ 沿着平行于坐标轴的方向趋于 $P_{0}$ 时， 函数值 $f(P)$ 趋于 $f\left(P_{0}\right)$, 但不能保证点 $P$ 按任何方式趋于 $P_{0}$ 时， 函数值 $f(P)$ 都趋于 $f\left(P_{0}\right)$. 
\pause
 例如，函数
\[
z=f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
\]
在点 $(0,0)$ 处对 $x$ 的偏导数为
\[
f_{x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} 0=0;
\]
\pause
同样有
\[
f_{y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(0,0+\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} 0=0 .
\]
\pause
但是在第一节中已经知道这函数在点 $(0,0)$ 并不连续。

\end{frame}


\section{高阶偏导数}

\begin{frame}{高阶偏导数}
\pause
设函数 $z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有偏导数
\[
  \frac{\partial z}{\partial x}=f_{x}(x, y), \quad \frac{\partial z}{\partial y}=f_{y}(x, y).
\]
\pause
于是在 $D$ 内 $f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 都是 $x, y$ 的函数。
\pause
 如果这两个函数的偏导数也存在， 那么称它们是函数 $z=f(x, y)$ 的\emph{二阶偏导数}。
\pause
 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：
 \pause
  \begin{align*}
    \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)&= \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f_{x x}(x, y), & \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)&= \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=f_{x y}(x, y), \\
    \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)&= \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=f_{y x}(x, y), & \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)&= \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f_{y y}(x, y) .
\end{align*}
其中第二、三两个偏导数称为\emph{混合偏导数}%
\pause%
\footnote{通常定义高阶偏导数时，我们按$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$的形式写时求偏导数的顺序是自右往左看的（与$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$这个顺序一致），即先对$x$求偏导数，再对$y$求偏导数（课本上的定义与此习惯相反，不过下面有个结论说二阶偏导数连续时求二阶偏导数与顺序无关，所以通常这不是问题）；而我们按$f_{xy}$的形式来写时求偏导数的顺序是自左往右看的，即先对$x$求偏导数，再对$y$求偏导数。}。
\pause
 同样可得三阶、四阶 $\cdots \cdots $ 以及 $n$ 阶偏导数。
\pause
二阶及二阶以上的偏导数统称为\emph{高阶偏导数}。

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  设 $z=x^{3} y^{2}-3 x y^{3}-x y+1$, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 及 $\frac{\partial^{3} z}{\partial x^{3}}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  我们有
\[
  \begin{aligned}
    \frac{\partial z}{\partial x}&= 3 x^{2} y^{2}-3 y^{3}-y, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=2 x^{3} y-9 x y^{2}-x,\\
    \pause
    \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}&= 6 x y^{2}, \quad\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=6 x^{2} y-9 y^{2}-1, \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=6 x^{2} y-9 y^{2}-1, \quad\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2 x^{3}-18 x y ; \\
    \pause
    \frac{\partial^{3} z}{\partial x^{3}}&= 6 y^{2} .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}

我们看到上例中的两个二阶混合偏导数相等， 即 $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$. 这不是偶然的， 事实上，有下述定理。


\pause
\begin{theorem*}
如果函数 $z=f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ 及 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 在区域 $D$ 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
\end{theorem*}


\pause
换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。
\pause
 这定理的证明从略。

 ~

 \pause
 对于二元以上的函数，也可以类似地定义高阶偏导数， 而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

 ~


 \pause
 \emph{拉普拉斯 (Laplace) 方程} 是数学物理方程中一种很重要的方程。
 下面两例中的两个方程是Laplace方程的例子。

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
验证函数 $z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 满足方程
\[
  \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0.
\]
\end{example}
\pause
\begin{solution}
因为 $z=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$, 
\pause
所以
\[
  \begin{aligned}
    \frac{\partial z}{\partial x}&= \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, & \frac{\partial z}{\partial y}&= \frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \\
    \pause
    \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}&= \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-x \cdot 2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=
    \frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, & 
    \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}&= \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-y \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
    = \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} .
\end{aligned}
\]
\pause
因此
\[
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}
\pause
=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}+\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
\pause
=0 .
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  证明函数 $u=\frac{1}{r}$ 满足方程
  \[
    \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0,
\]
其中 $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.
\end{example}

\pause
\begin{proof}
我们有
\[
  \begin{aligned}
    \frac{\partial u}{\partial x}&= -\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{x}{r}=-\frac{x}{r^{3}}, \\
    \pause
    \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}&= -\frac{1}{r^{3}}+\frac{3 x}{r^{4}} \cdot \frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{1}{r^{3}}+\frac{3 x^{2}}{r^{5}} .
\end{aligned}
\]
\pause
因为函数关于自变量的对称性，所以
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\frac{1}{r^{3}}+\frac{3 y^{2}}{r^{5}}, \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=-\frac{1}{r^{3}}+\frac{3 z^{2}}{r^{5}} .
\]
\pause
因此
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}
\pause
=-\frac{3}{r^{3}}+\frac{3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{r^{5}}
\pause
=-\frac{3}{r^{3}}+\frac{3 r^{2}}{r^{5}}
\pause
=0 .
\]
\end{proof}
\end{frame}
\end{document}


